ΠΕΝΤΕ ΑΝΤΡΕΣ ΚΑΙ ΕΝΑΣ ΠΙΘΗΚΟΣ

Ο πίθηκος και οι καρύδες είναι ένα μαθηματικό πρόβλημα στον τομέα της διοφαντικής ανάλυσης που δημοσιεύτηκε υπό μορφή διηγήματος από τον Αμερικανό μυθιστοριογράφο και συγγραφέα διηγημάτων Ben Ames Williams τροποποιώντας ένα παλαιότερο πρόβλημα και το συμπεριέλαβε σε μια ιστορία, "Coconuts", στο τεύχος 9 Οκτωβρίου 1926 του The Saturday Evening Post.

Το πρόβλημα έγινε διάσημο για τη σύγχυση που προκάλεσε σε έμπειρους λύτες γρίφων, αν και με τη σωστή μαθηματική προσέγγιση η λύση είναι εύκολη. Το πρόβλημα έκτοτε έχει ενταχθεί σε πολλές ψυχαγωγικές συλλογές μαθηματικών .

1 Το πρόβλημα

Πέντε άντρες και ένας πίθηκος ναυάγησαν σε ένα νησί. Πέρασαν την πρώτη μέρα συγκεντρώνοντας καρύδες. Κατά τη διάρκεια της νύχτας, ένας άντρας ξύπνησε και αποφάσισε να πάρει το μερίδιό του από τις καρύδες. Τις χώρισε σε πέντε σωρούς. Μια καρύδα περίσσεψε, έτσι την έδωσε στη μαϊμού, μετά έκρυψε το μερίδιό του, συγκέντρωσε ξανά τις υπόλοιπες και ξανακοιμήθηκε.

Σύντομα ένας δεύτερος άντρας ξύπνησε και έκανε το ίδιο πράγμα. Αφού χώρισε τις καρύδες σε πέντε σωρούς, έμεινε μία καρύδα, την οποία έδωσε στον πίθηκο. Έκρυψε το μερίδιό του, συγκέντρωσε ξανά τις υπόλοιπες και ξαναπήγε για ύπνο. Ο τρίτος, ο τέταρτος και ο πέμπτος άντρας ακολούθησαν ακριβώς την ίδια διαδικασία. Το επόμενο πρωί, αφού ξύπνησαν όλοι, χώρισαν τις υπόλοιπες καρύδες σε πέντε ίσες μερίδες. Αυτή τη φορά δεν περίσσεψε καρύδα.

Πόσες καρύδες υπήρχαν στον αρχικό σωρό;

2 Ιστορία

Δεν είναι ακριβώς γνωστό πότε πρωτοεμφανίσθηκε αυτό τα πρόβλημα. Η πρώτη περιγραφή του προβλήματος κοντά στη σύγχρονη διατύπωσή του εμφανίστηκε στα ημερολόγια του μαθηματικού και συγγραφέα Lewis Carroll («Η Αλίκη στην χώρα των θαυμάτων») το 1888, που περιελάμβανε ένα σωρό από ξηρούς καρπούς σε ένα τραπέζι χωρισμένο με τη σειρά από τέσσερα αδέλφια, κάθε φορά με το υπόλοιπο ενός που δινόταν σε έναν πίθηκο και με την τελική διαίρεση να μη δίνει υπόλοιπο. Το πρόβλημα δεν εμφανίστηκε ποτέ σε οποιαδήποτε από τις δημοσιευμένες εργασίες του συγγραφέα, αν και από άλλες αναφορές φαίνεται το πρόβλημα ήταν στην κυκλοφορία το 1888.

Πολυάριθμες λύσεις που ξεκινούν ήδη από το 1928 έχουν δημοσιευτεί. Έξυπνες και συνοπτικές λύσεις που χρησιμοποιούν την μέθοδο των ιδίων υπολοίπων, κόσκινα και εναλλακτικές βάσεις αριθμών, έχουν επινοηθεί με βάση μερικώς ή κυρίως τον αναδρομικό ορισμό του προβλήματος. Οι μικρότερη θετική λύση είναι αρκετά μεγάλη ώστε να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος «δοκιμή και το λάθος». Μια ευφυής ιδέα για τις αρνητικές καρύδες εισήχθη που τυχαία λύνει το αρχικό πρόβλημα. Οι φορμαλιστικές λύσεις βασίζονται στον αλγόριθμο του Ευκλείδη που εφαρμόζεται στα διοφαντικά πολυώνυμα. Τέλος, ο υπολογισμός των πεπερασμένων διαφορών αποδίδει μια παραμετροποιημένη γενική λύση για οποιονδήποτε αριθμό ναυτικών και όλα τα πολλαπλάσια καρύδων που θα μπορούσαν να ήταν στον αρχικό σωρό. Στη σύγχρονη εποχή, με την χρήση υπολογιστών, η λύση βρίσκεται πάρα πολύ γρήγορα.

Ο πίθηκος και οι καρύδες είναι ο πιο γνωστός εκπρόσωπος μιας κατηγορίας προβλημάτων που απαιτούν ακέραιες λύσεις δομημένες ως αναδρομική διαίρεση ή κλασματοποίηση κάποιας διακριτά διαιρετής ποσότητας, με ή χωρίς υπόλοιπα και μια τελική διαίρεση σε ορισμένα ίσα μέρη, πιθανώς με υπόλοιπο. Το πρόβλημα είναι τόσο διάσημο, που συχνά αναφέρεται ευρέως ως «προβλήματα τύπου πιθήκου και καρύδας», αν και τα περισσότερα δεν σχετίζονται στενά με το πρόβλημα.

3 Διοφαντική εξίσωση

Διοφαντική εξίσωση στην άλγεβρα ονομάζεται οποιαδήποτε πολυωνυμική εξίσωση (η οποία συνήθως περιλαμβάνει δύο ή περισσότερους άγνωστους) με ακέραιους συντελεστές για την οποία ζητούμε μόνο ακέραιες λύσεις. Ο όρος "διοφαντική" προέρχεται από τον μαθηματικό του τρίτου αιώνα Διόφαντο τον Αλεξανδρέα, που ασχολήθηκε με αυτού του τύπου τις εξισώσεις.

Τα διοφαντικά προβλήματα έχουν λιγότερες εξισώσεις από άγνωστους και περιλαμβάνουν την εύρεση ακεραίων που λύνουν ταυτόχρονα όλες τις εξισώσεις. Καθώς τέτοια συστήματα εξισώσεων ορίζουν αλγεβρικές καμπύλες , αλγεβρικές επιφάνειες ή, γενικότερα, αλγεβρικά σύνολα , η μελέτη τους είναι ένα μέρος της αλγεβρικής γεωμετρίας που ονομάζεται διοφαντική γεωμετρία.

4 Η λύση με την χρήση Ηλεκτρονικού Υπολογιστή

Στον ιστότοπο http://rosettacode.org μπορεί κανείς να βρει σε μεγάλη ποικιλία γλωσσών προγραμματισμού τον αλγόριθμο για την λύση του προβλήματος, όχι μόνο για 5 άνδρες αλλά και σε γενικευμένη μορφή με μεταβλητό αριθμό ανδρών: Sailors Sailors, coconuts and a monkey problem

5 Πηγές

• Sailors, coconuts and a monkey problem
• Diophantine equation
• Διοφαντική εξίσωση
• The monkey and the coconuts